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In der `F33f`_`[Statistik`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Statistik]`_`f wird mit der `!Deming-Regression`! eine `F33f`_`[Ausgleichsgerade`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Ausgleichsgerade]`_`f für eine endliche Menge `F33f`_`[metrisch skalierter`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Skalenniveau]`_`f Datenpaare ( x i , y i {\\displaystyle x_{i},y_{i}} ) nach der `F33f`_`[Methode der kleinsten Quadrate`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Methode_der_kleinsten_Quadrate]`_`f bestimmt. Es handelt sich um eine Variante der `F33f`_`[linearen Regression`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Lineare_Regression]`_`f. Bei der Deming-Regression werden die `F33f`_`[Residuen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Störgröße_und_Residuum]`_`f (Messfehler) sowohl für die x {\\displaystyle x} - als auch für die y {\\displaystyle y} -Werte in das Modell einbezogen.

Die Deming-Regression ist somit ein Spezialfall der `F33f`_`[Regressionsanalyse`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Regressionsanalyse]`_`f; sie beruht auf einer `F33f`_`[Maximum-Likelihood-Schätzung`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Maximum-Likelihood-Methode]`_`f der `F33f`_`[Regressionsparameter`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Regressionsparameter]`_`f, bei der die Residuen beider Variablen als unabhängig und `F33f`_`[normalverteilt`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Normalverteilung]`_`f angenommen werden und der Quotient δ δ {\\displaystyle \\delta } ihrer `F33f`_`[Varianzen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Varianz_(Stochastik)]`_`f als bekannt unterstellt wird.

Die Deming-Regression geht auf eine Arbeit von C.H. Kummell (1879) zurück;`:cite-ref-1[`F5bf`_`[1`#cite-note-1]`_`f] 1937 wurde die Methode von T.C. Koopmans wieder aufgegriffen`:cite-ref-2[`F5bf`_`[2`#cite-note-2]`_`f] und in allgemeinerem Rahmen 1943 von `F33f`_`[W. E. Deming`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=William_Edwards_Deming]`_`f für technische und ökonomische Anwendungen bekannt gemacht.`:cite-ref-3[`F5bf`_`[3`#cite-note-3]`_`f]

Die `F33f`_`[orthogonale Regression`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Orthogonale_Regression]`_`f ist ein wichtiger Spezialfall der Deming-Regression; sie behandelt den Fall δ δ = 1 {\\displaystyle \\delta =1} . Die Deming-Regression wiederum ist ein Spezialfall der York-Regression.

>>Contents

• `F0af`_`[Rechenweg`#rechenweg]`_`f

• `F0af`_`[Erweiterung York-Regression`#erweiterung-york-regression]`_`f

• `F0af`_`[Einzelnachweise`#einzelnachweise]`_`f

-─

>>Rechenweg

Die gemessenen Werte x i {\\displaystyle x_{i}} und y i {\\displaystyle y_{i}} werden als Summen der „`F33f`_`[wahren Werte`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Wahrer_Wert]`_`f“ x i ∗ ∗ {\\displaystyle x_{i}^{*}} bzw. y i ∗ ∗ {\\displaystyle y_{i}^{*}} und der „Fehler“ η η i {\\displaystyle \\eta _{i}} bzw. ε ε i {\\displaystyle \\varepsilon _{i}} aufgefasst, d. h. ( x i , y i ) = ( x i ∗ ∗ + η η i , y i ∗ ∗ + ε ε i ) {\\displaystyle (x_{i},y_{i})=(x_{i}^{*}+\\eta _{i},y_{i}^{*}+\\varepsilon _{i})} Die Datenpaare ( x i ∗ ∗ , y i ∗ ∗ {\\displaystyle x_{i}^{*},y_{i}^{*}} ) liegen auf der zu berechnenden Geraden. η η i {\\displaystyle \\eta _{i}} und ε ε i {\\displaystyle \\varepsilon _{i}} seien unabhängig mit σ σ η η 2 := V a r ( η η ) {\\displaystyle \\sigma _{\\eta }^{2}:=Var(\\eta )} und σ σ ε ε 2 := V a r ( ε ε ) {\\displaystyle \\sigma _{\\varepsilon }^{2}:=Var(\\varepsilon )} . Bekannt sei zumindest der Quotient der `F33f`_`[Fehlervarianzen`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Erwartungstreue_Schätzung_der_Varianz_der_Störgrößen]`_`f δ δ = σ σ η η 2 σ σ ε ε 2 {\\displaystyle \\delta ={\\frac {\\sigma _{\\eta }^{2}}{\\sigma _{\\varepsilon }^{2}}}} .

Es wird eine Gerade

y = β β 0 + β β 1 x {\\displaystyle y=\\beta _{0}+\\beta _{1}x}

gesucht, die die `F33f`_`[gewichtete Residuenquadratsumme`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Residuenquadratsumme]`_`f minimiert:

S Q R = ∑ ∑ i = 1 n ( η η i 2 σ σ η η 2 + ε ε i 2 σ σ ε ε 2 ) = 1 σ σ ε ε 2 ∑ ∑ i = 1 n ( ( y i − − β β 0 − − β β 1 x i ∗ ∗ ) 2 + δ δ ( x i − − x i ∗ ∗ ) 2 ) → → min β β 0 , β β 1 , x i ∗ ∗ S Q R {\\displaystyle SQR=\\sum _{i=1}^{n}{\\bigg (}{\\frac {\\eta _{i}^{2}}{\\sigma _{\\eta }^{2}}}+{\\frac {\\varepsilon _{i}^{2}}{\\sigma _{\\varepsilon }^{2}}}{\\bigg )}={\\frac {1}{\\sigma _{\\varepsilon }^{2}}}\\sum _{i=1}^{n}{\\Big (}(y_{i}-\\beta _{0}-\\beta _{1}x_{i}^{*})^{2}+\\delta (x_{i}-x_{i}^{*})^{2}{\\Big )}\\ \\to \\ \\min _{\\beta _{0},\\beta _{1},x_{i}^{*}}SQR}

Für die weitere Rechnung werden die folgenden Hilfswerte benötigt:

x ¯ ¯ = 1 n ∑ ∑ i = 1 n x i {\\displaystyle {\\overline {x}}={\\frac {1}{n}}\\sum _{i=1}^{n}x_{i}} (`F33f`_`[arithmetisches Mittel`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Arithmetisches_Mittel]`_`f der x i {\\displaystyle x_{i}} )

y ¯ ¯ = 1 n ∑ ∑ i = 1 n y i {\\displaystyle {\\overline {y}}={\\frac {1}{n}}\\sum _{i=1}^{n}y_{i}} (arithmetisches Mittel der y i {\\displaystyle y_{i}} )

s x 2 = 1 n − − 1 ∑ ∑ i = 1 n ( x i − − x ¯ ¯ ) 2 {\\displaystyle s_{x}^{2}={\\tfrac {1}{n-1}}\\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\\overline {x}})^{2}} (`F33f`_`[Stichprobenvarianz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Empirische_Varianz]`_`f der x i {\\displaystyle x_{i}} )

s y 2 = 1 n − − 1 ∑ ∑ i = 1 n ( y i − − y ¯ ¯ ) 2 {\\displaystyle s_{y}^{2}={\\tfrac {1}{n-1}}\\sum _{i=1}^{n}(y_{i}-{\\overline {y}})^{2}} (Stichprobenvarianz der y i {\\displaystyle y_{i}} )

s x y = 1 n − − 1 ∑ ∑ i = 1 n ( x i − − x ¯ ¯ ) ( y i − − y ¯ ¯ ) {\\displaystyle s_{xy}={\\tfrac {1}{n-1}}\\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\\overline {x}})(y_{i}-{\\overline {y}})} (`F33f`_`[Stichprobenkovarianz`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Stichprobenkovarianz]`_`f der ( x i , y i ) {\\displaystyle (x_{i},y_{i})} ).

Damit ergeben sich die Parameter zur Lösung des Minimierungsproblems:`:cite-ref-4[`F5bf`_`[4`#cite-note-4]`_`f]

β β 1 = s y 2 − − δ δ s x 2 + ( s y 2 − − δ δ s x 2 ) 2 + 4 δ δ s x y 2 2 s x y {\\displaystyle \\beta _{1}={\\frac {s_{y}^{2}-\\delta s_{x}^{2}+{\\sqrt {(s_{y}^{2}-\\delta s_{x}^{2})^{2}+4\\delta s_{xy}^{2}}}}{2s_{xy}}}}

β β 0 = y ¯ ¯ − − β β 1 x ¯ ¯ {\\displaystyle \\beta _{0}={\\overline {y}}-\\beta _{1}{\\overline {x}}} .

Die x i ∗ ∗ {\\displaystyle x_{i}^{*}} -Koordinaten berechnet man mit

x i ∗ ∗ = x i + β β 1 β β 1 2 + δ δ ( y i − − β β 0 − − β β 1 x i ) {\\displaystyle x_{i}^{*}=x_{i}+{\\frac {\\beta _{1}}{\\beta _{1}^{2}+\\delta }}(y_{i}-\\beta _{0}-\\beta _{1}x_{i})} .

>>Erweiterung York-Regression

York-Regression erweitert die Deming-Regression, da es korrelierte x- und y-Fehler erlaubt`:cite-ref-5[`F5bf`_`[5`#cite-note-5]`_`f].

>>Einzelnachweise

`:cite-note-1`!1.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-1]`_`f Charles H. Kummell: `*Reduction of observation equations which contain more than one observed quantity.`* In: `*`F33f`_`[The Analyst`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=The_Analyst]`_`f.`* Band 6, Nummer 4, 1879, S. 97–105, `F33f`_`[JSTOR`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=JSTOR]`_`f:2635646.

`:cite-note-2`!2.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-2]`_`f `F33f`_`[Tjalling Koopmans`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Tjalling_C._Koopmans]`_`f: `*Linear regression analysis of economic time series`* (= `*Publications of the Netherland Economic Institute.`* 20). De Erven F. Bohn, Haarlem 1937.

`:cite-note-3`!3.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-3]`_`f `F33f`_`[W. Edwards Deming`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=William_Edwards_Deming]`_`f: `*Statistical adjustment of data.`* Wiley u. a., New York NY 1943, (Unabriged and corrected republication. Dover Publications, New York NY 1985, ISBN 0-486-64685-8).

`:cite-note-4`!4.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-4]`_`f Paul Glaister: `*Least squares revisited.`* In: `*`F33f`_`[The Mathematical Gazette`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=The_Mathematical_Gazette]`_`f.`* Band 85, Nummer 502, 2001, S. 104–107, `F33f`_`[JSTOR`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=JSTOR]`_`f:3620485.

`:cite-note-5`!5.`! `F0af`_`[↑`#cite-ref-5]`_`f Derek York, Norman M. Evensen, Margarita López Martı́nez, Jonás De Basabe Delgado: `*Unified equations for the slope, intercept, and standard errors of the best straight line.`* In: `*`F33f`_`[American Journal of Physics`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=American_Journal_of_Physics]`_`f.`* Band 72, 2004, S. 367–375, `F33f`_`[doi`:/page/entry.mu`zim=wikipedia_de_all_nopic_2026-01.zim|entry_path=Digital_Object_Identifier]`_`f:10.1119/1.1632486.

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